Question

6．已知直径为30cm的⊙O中，有两条平行的弦AB和CD，AB=18cm，CD=24cm，则弦AB与CD间的距离为3cm或21cm．

Answer 1

分析 分两种情况考虑：当两条弦位于圆心O一侧时，如图1所示，过OOE⊥AB，交AB于点E，交CD于点F，连接OA，OC，由AB∥CD，得到OE⊥CD，利用垂径定理得到E与F分别为AB与CD的中点，在直角三角形COF中，利用勾股定理求出OF的长，在三角形AOE中，利用勾股定理求出OE的长，由OE-OF即可求出EF的长；当两条弦位于圆心O两侧时，如图2所示，同理由OE+OF求出EF的长即可．

解答 解：分两种情况考虑：
当两条弦位于圆心O一侧时，如图1所示，
过O作OE⊥AB，交AB于点E，交CD于点F，连接OA，OC，
∵AB∥CD，∴OE⊥CD，
∴E、F分别为AB、CD的中点，
∴AE=BE=$\frac{1}{2}$AB=9cm，CF=DF=$\frac{1}{2}$CD=12cm，
在Rt△COF中，OC=15cm，CF=12cm，
根据勾股定理得：OF=$\sqrt{O{C}^{2}-C{F}^{2}}$=9cm，
在Rt△AOE中，OA=15cm，AE=9cm，
根据勾股定理得：OE=$\sqrt{O{A}^{2}-A{E}^{2}}$=12cm，
则EF=OE-OF=12-9=3cm；
当两条弦位于圆心O两侧时，如图2所示，同理可得EF=12+9=21cm，
综上，弦AB与CD的距离为3cm或21cm．
故答案为：3cm或21cm．

点评 此题考查了垂径定理，勾股定理，利用了分类讨论的思想，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．