Question

2．如图，在△ABC中，AB=10，BC=12，BC边上的中线AD=8．
（1）证明：△ABC为等腰三角形；
（2）点H在线段AC上，试求AH+BH+CH的最小值．

Answer 1

分析 （1）由三角形的中线的定义可知BD=DC=6，然后依据勾股定理的逆定理可证明△ABD为直角三角形，故此AD⊥BC，则AD为BC的垂直平分线，依据线段垂直平分线的性质可知AB=AC；
（2）由题意可得到CH+AC=AC=10，故此当BH最小时，AH+BH+CH有最小值，依据垂线段的性质可知当BH⊥AC时，BH有最小值，在△ABC中，依据面积法可求得BH的最小值．

解答 解：（1）∵AD是BC边上的中线，
∴BD=DC=6．
在△ABD中，BD²+AD²=6²+8²=10²=AB²，
∴△ABD为直角三角形．
∴∠ADB=90°．
∴AD⊥BC．
∵AD⊥BC，BD=DC，
∴AB=AC．
∴△ABC为等腰三角形．
（2）∵AH+BH+CH=AC+BH=10+BH，
∴当BH最小时，AH+BH+CH有最小值．
由垂线段的性质可知当BH⊥AC时，BH有最小值．
∴$\frac{1}{2}$BH•AC=$\frac{1}{2}$BC•AD，即$\frac{1}{2}$×10•BH=$\frac{1}{2}$×12×8，
解得：BH=9.6．
∴AH+BH+CH的最小值=10+9.6=19.6．

点评 本题主要考查的是最短路径问题，解答本题主要应用了勾股定理的逆定理、线段垂直平分线的性质，垂线段的性质，明确当BH⊥AC时，AH+BH+CH有最小值是解题的关键．