Question

11．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于A（-1，0），B（-3，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式．
（2）设抛物线的顶点为D，点P在抛物线的对称轴上，且∠APD=∠ACB，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）把A（-1，0），B（-3，0）两点坐标代入y=-x²+bx+c得$\left\{\begin{array}{l}{-1-b+c=0}\\{-9-3b+c=0}\end{array}\right.$，解方程组即可．
（2））如图，连接AC，作AM⊥BC于M，对称轴交x轴于K．首先求出tan∠ACB=$\frac{AM}{CM}$=$\frac{1}{2}$，由∠APD=∠ACB，推出tan∠APK=$\frac{AK}{PK}$=$\frac{1}{2}$，求出PK，即可解决问题．

解答 解：（1）把A（-1，0），B（-3，0）两点坐标代入y=-x²+bx+c得$\left\{\begin{array}{l}{-1-b+c=0}\\{-9-3b+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-4}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=-x²-4x-3．

（2）如图，连接AC，作AM⊥BC于M，对称轴交x轴于K．

∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$×2×3=$\frac{1}{2}$•BC•AM，
∵BC=3$\sqrt{2}$，
∴AM=$\sqrt{2}$，CM=$\sqrt{A{C}^{2}-A{M}^{2}}$=$\sqrt{10-2}$=2$\sqrt{2}$
∴tan∠ACB=$\frac{AM}{CM}$=$\frac{1}{2}$，
∵∠APD=∠ACB，
∴tan∠APK=$\frac{AK}{PK}$=$\frac{1}{2}$，
∴PK=2，
∴点P坐标为（-2，-2），根据对称性可知P′（-2，2）也满足条件，
综上所述，满足条件的点P坐标为（-2，-2）或（-2，2）．

点评 本题考查抛物线与x轴的交点、待定系数法、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．