在平面直角坐标系中.己知一次函数y=-x+2与x轴交于点A.与y轴交于点B.一个以点O为顶点的45°角∠EOF绕点O旋转.交直线AB于点E.F.点F在点E的上方.且点E的横坐标是a.点F的纵坐标是b.a＞0.b＞0．(1)△AOF与△BOE是否一定相似?如果一定相似.请予以证明,如果不一定相似或者一定不相似.请说明理由．(2)∠EOF绕点O旋转的过程中a.b满足� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

18．在平面直角坐标系中，己知一次函数y=-x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，一个以点O为顶点的45°角∠EOF绕点O旋转，交直线AB于点E、F，点F在点E的上方，且点E的横坐标是a，点F的纵坐标是b，a＞0，b＞0．
（1）△AOF与△BOE是否一定相似？如果一定相似，请予以证明；如果不一定相似或者一定不相似，请说明理由．
（2）∠EOF绕点O旋转的过程中a、b满足的关系式，并说明理由；
（3）求△OEF的面积（结果用a、b的代数式表示）

分析（1）先根据点E，F的坐标确定出图形的位置，然后分0＜a＜2和a＞2两种情况，根据三角形的外角的性质得出∠AOF=∠EBO，进而得出结论；
（2）先根据点E，F，A，B的坐标确定出BE=$\sqrt{2}$a和AF=$\sqrt{2}$b，再利用（1）得出的相似得出比例式即可找出ab=2；
（3）分两种情况利用三角形的面积的和差即可得出结论．

解答解：（1）△AOF∽△BEO；
理由：∵点E在直线y=-x+2上，且点E的横坐标是a，
∴E（a，-a+2），
∵点F在直线y=-x+2上，且点F的纵坐标是b，
∴F（2-b，b），∵a＞0，b＞0，
当-a+2＞0，时，即：0＜a＜2时，
如图1，∵一次函数y=-x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴A（2，0），B（0，2），
∴OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=45°，
∴∠BEO=∠OAB+∠AOE=45°+∠AOE，
∵∠EOF=45°，
∴∠AOF=∠EOF+∠AOE=∠45°+∠AOE，
∴∠AOF=∠AEO，
∵∠OAF=∠EBO=45°，
∴△AOF∽△BEO；
当-a+2＜0时，即：a＞2时，
如图2，∵一次函数y=-x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴A（2，0），B（0，2），
∴OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=45°，
∴∠BEO=∠OAB-∠AOE=45°-∠AOE，
∵∠EOF=45°，
∴∠AOF=∠EOF-∠AOE=∠45°-∠AOE，
∴∠AOF=∠AEO，
∵∠OAF=∠EBO=45°，
∴△AOF∽△BEO；

（2）ab=2；
理由：∵点E在直线y=-x+2上，且点E的横坐标是a，
∴E（a，-a+2），
∵B（0，2），
∴BE=$\sqrt{{a}^{2}+（-a+2-2）^{2}}$=$\sqrt{2}$a
∵点F在直线y=-x+2上，且点F的纵坐标是b，
∴F（2-b，b），
∵A（2，0），
∴AF=$\sqrt{（2-b-2）^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{2}$b，
由（1）知，OA=OB=2，△AOF∽△BEO，
∴$\frac{OA}{BE}=\frac{AF}{OB}$，
∴$\frac{2}{\sqrt{2}a}=\frac{\sqrt{2}b}{2}$，
∴ab=2；
（3）当0＜a＜2时，由（1）知，OA=OB=2，
∴S_△OEF=S_△AOF-S_△AOE=$\frac{1}{2}$OA•|y_F|-$\frac{1}{2}$OA•|yE|=$\frac{1}{2}$OA（|y_F|-|yE|=$\frac{1}{2}$×2[b-（-a+2）]=a+b-2；
当a＞2时，由（1）知，OA=OB=2，
∴S_△OEF=S_△AOF+S_△AOE=$\frac{1}{2}$OA•|y_F|+$\frac{1}{2}$OA•|yE|=$\frac{1}{2}$OA（|y_F|+|yE|=$\frac{1}{2}$×2[b+（a-2）]=a+b-2；
即：△OEF的面积为a+b-2．

点评此题是相似三角形的综合题，主要考查了三角形的外角，相似三角形的判定和性质，三角形的面积公式，解答（1）的关键是利用三角形的外角的性质得出∠AOF=∠EBO，解答（2）的关键是求出AF=$\sqrt{2}$b，BE=$\sqrt{2}$a；画出图形是解本题的难点．

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