Question

8．山西绵山是中国历史文化名山，因春秋时期晋国介子推携母隐居于此被焚而著称，如图1，是绵山上介子推母子的塑像，某游客计划测量这座塑像的高度，由于游客无法直接到达塑像底部，因此该游客计划借助坡面高度来测量塑像的高度；如图2，在塑像旁山坡坡脚A处测得塑像头顶C的仰角为75°，当从A处沿坡面行走10米到达P处时，测得塑像头顶C的仰角刚好为45°，已知山坡的坡度i=1：3，且O，A，B在同一直线上，求塑像的高度．（侧倾器高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：cos75°≈0.3，tan75°≈3.7，$\sqrt{2}$≈1.4，$\sqrt{3}$≈1.7，$\sqrt{10}$≈3.2）

Answer 1

分析 过点P作PE⊥OB于点E，PF⊥OC于点F，设PE=x，则AE=3x，在Rt△AEP中根据勾股定理可得PE=$\sqrt{10}$，则AE=3$\sqrt{10}$，设CF=PF=m米，则OC=（m+$\sqrt{10}$）米、OA=（m-3$\sqrt{10}$）米，在Rt△AOC中，由tan75°=$\frac{OC}{OA}$求得m的值，继而可得答案．

解答 解：过点P作PE⊥OB于点E，PF⊥OC于点F，

∵i=1：3，AP=10，
设PE=x，则AE=3x，
在Rt△AEP中，x²+（3x）²=10²，
解得：x=$\sqrt{10}$或x=-$\sqrt{10}$（舍），
∴PE=$\sqrt{10}$，则AE=3$\sqrt{10}$，
∵∠CPF=∠PCF=45°，
∴CF=PF，
设CF=PF=m米，则OC=（m+$\sqrt{10}$）米，OA=（m-3$\sqrt{10}$）米，
在Rt△AOC中，tan75°=$\frac{OC}{OA}$=$\frac{m+\sqrt{10}}{m-3\sqrt{10}}$，即m+$\sqrt{10}$=tan75°•（m-3$\sqrt{10}$），
解得：m≈14.3，
∴OC=14.3+$\sqrt{10}$≈17.5米，
答：塑像的高度约为17.5米．

点评 此题综合考查了仰角、坡度的定义，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键．