Question

4．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交C点，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（-3，0），点C的坐标为（0，3），
（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；
（2）M是线段AB上的任意一点，当△MBC为等腰三角形时，求M点的坐标．（直接写出点的坐标）

Answer 1

分析 （1）根据条件可设两点式，把C的坐标代入可求得解析式，可求得顶点坐标；
（2）分CM=BM时和BC=BM时两种情况根据等腰三角形的性质求得点M的坐标即可．

解答 解：（1）∵抛物线与x轴交于A（2，0）、B（-3，0）两点，
∴设抛物线为y=a（x-2）（x+3），
又过点C（0，3），
∴3=a（0-2）（0+3），
解得a=-$\frac{1}{2}$，
∴y=-$\frac{1}{2}$（x-2）（x+3）=-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}$x+3，
其对称轴为x=$\frac{-3+2}{2}$=-$\frac{1}{2}$，当x=-$\frac{1}{2}$时，y=$\frac{25}{8}$，
∴顶点坐标为（-$\frac{1}{2}$，$\frac{25}{8}$）；

（2）①CM=BM时
∵BO=CO=3  即△BOC是等腰直角三角形
∴当M点在原点O时，△MBC是等腰三角形
∴M点坐标（0，0）
②如图所示：当BC=BM时
在Rt△BOC中，BO=CO=3，
由勾股定理得BC=$\sqrt{O{C}^{2}+O{B}^{2}}$
∴BC=3$\sqrt{2}$，
∴BM=3$\sqrt{2}$
∴M点坐标（3$\sqrt{2}$-3，0）．
综上所述：M点坐标为：M₁（3$\sqrt{2}$-3，0）．M₂（0，0）．

点评 本题考查了二次函数的综合知识，第一问考查了待定系数法确定二次函数的解析式，较为简单．第二问结合二次函数的图象考查了等腰三角形的性质，综合性较强．