Question

如图，n+1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，设△B₂D₁C₁的面积为S₁，△B₃D₂C₂的面积为S₂，…，△B_n+1D_nC_n的面积为S_n，则S₂=

 

；S_n=

 

．（用含n的式子表示）

Answer 1

分析：由三角形的相似性可求得S₂、S₃、S₄的值，则Sn的值也可用含n的式子表示出来．

解答：解：由于各三角形为等边三角形，且各边长为2，过各三角形的顶点B₁、B₂、B₃…向对边作垂线，垂足为M₁、M₂、M₃，
∵△AB₁C₁是等边三角形，
∴AD₁=AC₁•sin60°=2×

3

2

=

3

，
∵△B₁C₁B₂也是等边三角形，
∴C₁B₁是∠AC₁B₂的角平分线，
∴AD₁=B₂D₁=

3

，
故S₁=S_△B2C1A-S_△AC1D1=

1

2

×2×

3

-

1

2

×2×

3

2

=

3

2

；
S₂=S_△B3C2A-S_△AC2D2=

1

2

×4×

3

-

1

2

×4×

2 3

3

=

2 3

3

；
作AB∥B₁C₁，使AB=AB₁，连接BB₁，则B₂，B₃，…B_n在一条直线上．
∵B_n C_n∥AB，
∴

BnDn

AB

=

BnBn+1

BnB

=

1

n+1

，
∴B_nD_n=

1

n+1

•AB=

2

n+1

，
则D_nC_n=2-BnDn=2-

2

n+1

=

2n

n+1

．
△B_nC_nB_n+1是边长是2的等边三角形，因而面积是：

3

．
△B_n+1D_nC_n面积为S_n=

BnDn

BnCn

•

3

=

2n n+1

2

•

3

=

3 n

n+1

．
即第n个图形的面积Sn=

3 n

n+1

．

点评：本题考查了相似三角形的性质，题目新颖，同学们要好好掌握．