Question

如图，在△ABC中，D是BC的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F.

(1)△ABC与△FCD相似吗？请说明理由．

(2)点F是线段AD的中点吗？为什么？

(3)若S_△ABC＝20，BC＝10，求DE的长．

Answer 1

 解：(1)相似．∵AD＝AC，∴∠CDF＝∠BCA.

∵DE垂直平分线段BC，∴EB＝EC，

∴∠FCD＝∠B.

∴△ABC∽△FCD.

(2)是．由△ABC∽△FCD，得，

∴DF＝.

∴点F是AD的中点．

(3)方法一：作AM⊥BC于M，FN⊥BC于N，由问题(1)，(2)的结论可得S_ΔFCD＝5，FN＝2，且N为DM的中点，M为CD的中点，又易知△FNC∽△EDC，

∴，解得DE＝.

方法二：作AM⊥BC于M，

由·AM＝10，解得AM＝4.

易知△BDE∽△BMA，

∴，∴DE＝.

方法三：作AM⊥BC于M，

则有，

∴S_△BCE＝S_△ABC＝，

于是由·DE＝，解得DE＝.