Question

4．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD=CD，点E在AD上，DE=BD，M、N分别是AB、CE的中点．
（1）求证：△ADB≌△CDE；
（2）求∠MDN的大小．

Answer 1

分析 （1）由垂直的定义得到∠ADB=∠ADC=90°，根据已知条件即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到∠BAD=∠DCE，根据直角三角形的性质得到AM=DM，DN=CN，由等腰三角形的性质得到∠MAD=∠MDA，∠NCD=∠NDC，等量代换得到∠ADM=∠CDN，即可得到结论．

解答 （1）证明：∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在△ABD与△CDE中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=CD}\\{∠ADB=∠ADC}\\{DB=DE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CDE；

（2）解：∵△ABD≌△CDE，
∴∠BAD=∠DCE，
∵M、N分别是AB、CE的中点，
∴AM=DM，DN=CN，
∴∠MAD=∠MDA，∠NCD=∠NDC，
∴∠ADM=∠CDN，
∵∠CDN+∠ADN=90°，
∴∠ADM+∠ADN=90°，
∴∠MDN=90°．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质定理是解题的关键．