Question

17．如图1，点O是弹力墙MN上一点，魔法棒从OM的位置开始绕点O向ON的位置顺时针旋转，当转到ON位置时，则从ON位置弹回，继续向OM位置旋转；当转到OM位置时，再从OM的位置弹回，继续转向ON位置，…，如此反复．按照这种方式将魔法棒进行如下步骤的旋转：第1步，从OA₀（OA₀在OM上）开始旋转α至OA₁；第2步，从OA₁开始继续旋转2α至OA₂；第3步，从OA₂开始继续旋转3α至OA₃，…．

例如：当α=30°时，OA₁，OA₂，OA₃，OA₄的位置如图2所示，其中OA₃恰好落在ON上，∠A₃OA₄=120°； 
当α=20°时，OA₁，OA₂，OA₃，OA₄，OA₃的位置如图3所示，
其中第4步旋转到ON后弹回，即∠A₃ON+∠NOA₄=80°，而OA₃恰好与OA₂重合．

解决如下问题：
（1）若α=35°，在图4中借助量角器画出OA₂，OA₃，其中∠A₃OA₂的度数是45°；
（2）若α＜30°，且OA₄所在的射线平分∠A₂OA₃，在如图5中画出OA₁，OA₂，OA₃，OA₄并求出α的值；

（3）若α＜36°，且∠A₂OA₄=20°，则对应的α值是$（\frac{20}{7}）^{°}$，$（\frac{340}{13}）^{°}$，（$\frac{380}{13}$）°．
（4）（选做题）当OA_i所在的射线是∠A_iOA_k（i，j，k是正整数，且OA_j与OA_k不重合）的平分线时，旋转停止，请探究：试问对于任意角α（α的度数为正整数，且α=180°），旋转是否可以停止？写出你的探究思路．

Answer 1

分析 （1）根据题意，明确每次旋转的角度，计算即可；
（2）根据各角的度数，找出等量关系式，列出方程，求出α的度数即可；
（3）类比第（2）小题的算法，分三种情况讨论，求出α的度数即可；
（4）无论a为多少度，旋转很多次，总会出一次OA_i是∠A_iOA_K是的角平分线，但当a=120度时，只有两条射线，不会出现OA_i是∠A_iOA_K是的角平分线，所以旋转会中止．

解答 解：（1）解：如图所示．aφ=45°，

（2）解：如图所示．

∵α＜30°，
∴∠A₀OA₃＜180°，4α＜180°．
∵OA₄平分∠A₂OA₃，
∴2（180°-6α）+$\frac{3}{2}α$=4α，解得：$α=（\frac{720}{29}）^{°}$．
（3）$（\frac{20}{7}）^{°}$，$（\frac{340}{13}）^{°}$，（$\frac{380}{13}$）°
（4）对于角α=120°不能停止．理由如下：
无论a为多少度，旋转过若干次后，一定会出现OA_i是∠A_iOA_K是的角平分线，所以旋转会停止．
但特殊的，当a为120°时，第一次旋转120°，∠MOA₁=120°，第二次旋转240°时，与OM重合，第三次旋转360°，又与OM重合，第四次旋转480°时，又与OA₁重合，…依此类推，旋转的终边只会出现“与OM重合”或“与OA₁重合”两种情况，不会出第三条射线，所以不会出现OA_i是∠A_iOA_K是的角平分线这种情况，旋转不会停止．

点评 本题主要考察角度的计算的相关知识，可结合平角的性质及角度的加减进行计算分析．