Question

20．已知，如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=8，cot∠BAC=$\frac{3}{4}$，点D在边BC上（不与点B、C重合），点E在边BC的延长线上，∠DAE=∠BAC，点F在线段AE上，∠ACF=∠B．设BD=x．

（1）若点F恰好是AE的中点，求线段BD的长；
（2）若y=$\frac{AF}{EF}$，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；
（3）当△ADE是以AD为腰的等腰三角形时，求线段BD的长．

Answer 1

分析 （1）先判断出△ABD∽△ACF，进而判断出AD=BD，再用解直角三角形的方法即可得出BD；
（2）先表示出CF，进而表示出MC，即可得出函数关系式；
（3）分两种情况列出方程求解即可得出结论．

解答 解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=8，cot∠BAC=$\frac{3}{4}$，
∴AC=6，AB=10，
∵∠DAE=∠BAC，
∴∠FAC=∠DAB，
∵∠ACF=∠B，
∴△ABD∽△ACF，
∴$\frac{AD}{AF}=\frac{BD}{CF}$，
在Rt△ABC中，点F恰好是AE的中点，
∴CF=$\frac{1}{2}$AE=AF，
∴AD=BD，
在Rt△ACD中，AC=6，CD=BC-BD=BC-AD=8-AD，
根据勾股定理得，AC²+CD²=AD²，
∴36+（8-AD）²=AD²，
∴AD=$\frac{25}{4}$，
∴BD=AD=$\frac{25}{4}$，
（2）如图1，过点F作FM⊥AC于M，
由（1）知，∴$\frac{AD}{AF}=\frac{BD}{CF}$=$\frac{AB}{AC}$，
∴CF=$\frac{AC}{AB}•BD$=$\frac{6}{10}$×x=$\frac{3}{5}$x，
由（1）△ABD∽△ACF，
∴∠B=∠ACF，
∴tan∠ACF=tanB=$\frac{1}{cot∠BAC}$=$\frac{4}{3}$=$\frac{FM}{MC}$，
∴MC=$\frac{12}{25}$x，
∴y=$\frac{AF}{EF}=\frac{AM}{MC}$=$\frac{6-\frac{12}{25}x}{\frac{12}{25}x}$=$\frac{25-2x}{2x}$（0＜x＜8）
（3）∵△ADE是以AD为腰的等腰三角形，
∴①当AD=AE时，
∴∠AED=∠ADE，
∵∠ACD=90°，
∴∠EAC=∠DAC=∠DAB，
∴AD是∠BAC的平分线，
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{CD}{BD}$，
∵AC=6，AB=10，CD=8-BD，
∴$\frac{6}{10}=\frac{8-BD}{BD}$，
∴BD=5，
当AD=DE时，
∴∠DAE=∠DEA=∠BAC，
∴∠ADE=2∠B，
∴∠B=∠DAB，
∴AD=BD=$\frac{25}{4}$（是（1）的那种情况）．
即：BD=5或BD=$\frac{25}{4}$时，△ADE是以AD为腰的等腰三角形．

点评 此题是三角形综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，解直角三角形，角平分线定理，等腰三角形的性质，解本题的关键是△ABD∽△ACF．