Question

4．如图，将一把含45°角的三角尺，放在正方形ABCD上，三角尺绕着顶点A转动时，与正方形的BC、CD两边分别交于点E、F．
（1）联结EF，猜想线段EF、BE、DF的长度有什么关系，并加以证明；
（2）如果正方形的边长为1，设BE=x，DF=y，求y关于x的函数解析式．

Answer 1

分析 （1）延长FD至G，使DG=BE，连接AG，先证△ABE≌△ADG，再证△GAF≌△EAF即可；
（2）在Rt△EFC中，利用勾股定理即可解决问题；

解答 解：（1）EF=BE+DF．
延长FD至G，使DG=BE，连接AG，如图①，

∵ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠ABE=ADG=∠DAB=90°，
∴△ABE≌△ADG，
∴AE=AG，∠DAG=∠EAB，
∵∠EAF=45°，
∴∠DAF+∠EAB=45°，
∴∠DAF+∠DAG=45°，
∴∠GAF=∠EAF=45°，
∵AF=AF，
∴△GAF≌△EAF，
∴EF=GF，
∴GF=DF+DG=DF+BE，
即：EF=DF+BE．

（2）如图所示，已知BE=x，DF=y，则CE=1-x，CF=1-y，
由（1）可知EF=x+y，
在Rt△CEF中，由勾股定理，得
CE²+CF²=EF²，即（1-x）²+（1-y）²=（x+y）²，
解得：y=$\frac{1-x}{1+x}$（0≤x≤1）．

点评 本题考查了旋转变换、正方形的性质、全等三角形判定与性质、勾股定理等知识点，难度适中．对于线段和差关系的证明，截长补短是常用手段，并且本题是经典的“大角夹半角”模型，其结论和推导过程要牢记，以便再遇到类似问题时可迅速解答．