Question

已知M为圆内弦PQ的中点，过点M作弦AB和CD，连结AD与BC，分别交PQ与点X和Y，并连结AC与BD，有以下四个结论：
①DM•MC=AM•BM；
②MX=MY；
③若M为该圆圆心，则四边形ACBD为菱形；
④若M为该圆直径GH上一点（不与G、H重合）延长PQ于点E，连结GE交圆于点F，则GM•GH=MQ•ME；
请问正确的结论为

 

．

Answer 1

考点：圆的综合题,全等三角形的判定与性质,平行四边形的判定与性质,垂径定理,圆周角定理,相似三角形的判定与性质

专题：推理填空题

分析：由于不知道点M是否是圆心，故需分两种情况进行讨论．
（1）若点M是圆的圆心，如图1．易证①②正确，通过举反例可得到③④不一定正确．
（2）若点M不是圆的圆心，如图2．①根据圆周角定理可得∠DAB=∠BCD，∠ADM=∠CBM，从而得到△ADM∽△CBM，则有

DM

BM

=

AM

CM

，即DM•CM=AM•BM，故①正确；②过点O作OJ⊥AD于J，作OK⊥BC于K，连接OX，OY，JM，KM，OM，如图2．根据垂径定理可得AJ=DJ=

1

2

AD，CK=BK=

1

2

BC．由△ADM∽△CBM可得

AJ

CK

=

AM

CM

，从而可证到△AJM∽△CKM，则有∠AJM=∠CKM．根据垂径定理的推论由M是PQ的中点得OM⊥PQ，则有∠OJX=∠OMX=∠OMY=∠OKY=90°，从而有O、M、X、J四点共圆，O、M、Y、K四点共圆，根据圆周角定理可得∠AJM=∠XOM，∠CKM=∠YOM，从而有∠XOM=∠YOM，进而可证到△OXM≌△OYM（ASA），则有MX=MY，故②正确．

解答：解：（1）若点M是圆的圆心，则有MA=MB=MC=MD．如图1．
①∵MA=MB=MC=MD，∴DM•MC=AM•BM，故①正确．
②∵MA=MB=MC=MD，∴四边形ACBD是平行四边形．
∴AD∥BC．∴∠ADM=∠BCD．
在△XDM和△YCM中，

∠XDM=∠YCM MD=MC ∠DMX=∠CMY

．
∴△XDM≌△YCM（ASA）．
∴MX=MY．故②正确．
③当AB与CD不垂直时，四边形ACBD不是菱形，故③错误．
④∵点M为圆心，∴MG=MQ．
当GH≠ME时，GM•GH≠MQ•ME，故④错误．
（2）若点M不是圆的圆心，如图2．
①∵A、B、C、D四点共圆，
∴∠DAB=∠BCD，∠ADM=∠CBM．
∴△ADM∽△CBM，
∴

DM

BM

=

AM

CM

．
即DM•CM=AM•BM，故①正确．
②过点O作OJ⊥AD于J，作OK⊥BC于K，连接OX，OY，JM，KM，OM．
则根据垂径定理可得AJ=DJ=

1

2

AD，CK=BK=

1

2

BC．
∵△ADM∽△CBM，
∴

AD

BC

=

2AJ

2CK

=

AM

CM

；
∴

AJ

CK

=

AM

CM

，
又∵∠JAM=∠KCM，
∴△AJM∽△CKM，
∴∠AJM=∠CKM．
∵M是PQ的中点，
∴根据垂径定理的推论得：OM⊥PQ，
∴∠OJX=∠OMX=∠OMY=∠OKY=90°．
∴O、M、X、J四点共圆，O、M、Y、K四点共圆．
∴∠AJM=∠XOM，∠CKM=∠YOM．
∴∠XOM=∠YOM．
在△OXM和△OYM中，

∠XOM=∠YOM OM=OM ∠OMX=∠OMY=90°

，
∴△OXM≌△OYM（ASA）．
∴MX=MY，故②正确．
综上所述：①②一定正确，③④不一定正确．
故答案为：①②．

点评：本题考查了圆周角定理、垂径定理、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，有一定的综合性，需要说明的是举反例是判定一个命题是假命题的重要方法，需掌握．