Question

已知△ABC与△A′BC有公共边BC，且A′B+A′C＞AB+AC．用反证法证明：点A′在△ABC的外部．

Answer 1

考点：反证法

专题：

分析：分别假设点A′在△ABC的边上时或点A′在△ABC内部时，进而利用三角形三边关系进而判断得出即可．

解答：证明：如图1，设点A′在△ABC的边上时，
∵AA′+AC＞A′C，
∴A′B+A′C＜AB+AC，
与已知矛盾，故假设不成立，原命题正确；
如图2，若点A′在△ABC内部时：
延长BA′交AC于点E
在△ABE中，AB+AE＞BE=BA′+A′E，
在△CA′E中，A′E+CE＞A′C
∴AB+AE+A′E+CE＞A′B+A′E+A′C
即有：AB+AC＞A′B+A′C，
与已知矛盾，故假设不成立，原命题正确；
由此可见，与△ABC共一条边BC的三角形中，另一顶点A'在AB、AC或△ABC内时都有A'B+A'C＜AB+AC
因此满足条件的点A'必在△ABC外部．

点评：此题主要考查了三角形三边关系以及反证法的应用，正确掌握反证法的步骤是解题关键．