Question

已知：五位数

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abcde

满足下列条件：
（1）它的各位数字均不为零；
（2）它是一个完全平方数；
（3）它的万位上的数字a是一个完全平方数，干位和百位上的数字顺次构成的两位数

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bc

以及十位和个位上的数字顺次构成的两位数

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de

也都是完全平方数．
试求出满足上述条件的所有五位数．

Answer 1

分析：设M2=

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abcde

，且a=m²（一位数），

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bc

=n 2（两位数），

.

de

=t2（两位数），则M²=m²×10⁴+n²×10²+t²①
由式①知M²=（m×10²+t）²=m²×10⁴+2mt×10²+t²②，比较式①、式②得n²=2mt．然后讨论即可得出答案．

解答：解：设M2=

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abcde

，且a=m²（一位数），

.

bc

=n 2（两位数），

.

de

=t2（两位数），则M²=m²×10⁴+n²×10²+t²①
由式①知M²=（m×10²+t）²=m²×10⁴+2mt×10²+t²②
比较式①、式②得n²=2mt．
因为n²是2的倍数，故n也是2的倍数，所以，n²是4的倍数，且是完全平方数．
故n²=16或36或64．
当n²=16时，得mt=8，则m=l，2，4，8，t=8，4，2，1，后二解不合条件，舍去；
故M²=11664或41616．
当n²=36时，得mt=18．则m=2，3，1，t=9，6，18．最后一解不合条件，舍去．
故M²=43681或93636．
当n²=64时，得mt=32．则m=1，2，4，8，t=32，16，8，4都不合条件，舍去．
因此，满足条件的五位数只有4个：11664，41616，43681，93636．

点评：本题考查了完全平方数，难度较大，关键是设M2=

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abcde

，且a=m²（一位数），

.

bc

=n 2（两位数），

.

de

=t2（两位数），然后表示出M²的形式．