Question

20．如图，抛物线经过A（-2，0），B（-$\frac{1}{2}$，0），C（0，2）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在直线AC下方的抛物线上有一点D，使得△DCA的面积最大，求点D的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法，可得抛物线的解析式；
（2）根据图形的割补法，可得面积的和差，根据二次函数的性质，可得答案．

解答 解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+2）（x+$\frac{1}{2}$），
把C（0，2）代入得a•2•$\frac{1}{2}$=2，解得a=2，
所以抛物线解析式为y=2（x+2）（x+$\frac{1}{2}$），即y=2x²+5x+2；

（2）由题意可求得AC的解析式为y=x+2，
如图

设D点的坐标为（t，2t²+5t+2），过D作DE⊥x轴交AC于E点，
∴E点的坐标为（t，t+2），
DE=t+2-（2t²+5t+2）=-2t²-4t，用h表示点C到线段DE所在直线的距离，
S_△DAC=S_△CDE+S_△ADE=$\frac{1}{2}$DE•h+$\frac{1}{2}$DE（2-h）=$\frac{1}{2}$DE•2=DE=-2t²-4t=-2（t+1）²+2
∵-2＜t＜0，
∴当t=-1时，△DCA的面积最大，此时D点的坐标为（-1，-1）．

点评 本题考查了利用待定系数法求函数解析式，利用图形割补法求面积是解题关键．