Question

20．如图，在正方形ABCD中，点M、N是直线AD上的点，且DM=AN，连接BM，过点A作AE⊥BM于点E，交BD于点F，作直线NF交BM于点G．
（1）如图1，点M、N在边AD上时，若AB=3，DM=1，求AE的值；
（2）当点M、N在边AD上时，求证：∠GMN=∠GNM．
（3）如图2，当点M在AD延长线上，点N在DA延长线上，（2）中结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据勾股定理求出BM，根据S_△ABM=$\frac{1}{2}$•AB•AM=$\frac{1}{2}$•BM•AE，即可解决问题．
（2）连接AC、CN、CF，先证明△ACN≌△DBM，得∠ACN=∠DBM，∠ANC=∠BMD，再证明C、F、N共线即可．
（3）结论成立．证明方法类似（2）．

解答 解：（1）如图1中，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=3，∠BAD=90°，
∵AN=DM=1，
∴AM=2，
在Rt△ABM，BM=$\sqrt{A{B}^{2}+A{M}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{13}$，AE⊥BM，
∵S_△ABM=$\frac{1}{2}$•AB•AM=$\frac{1}{2}$•BM•AE，
∴AE=$\frac{AB•AM}{MB}$=$\frac{6}{13}$$\sqrt{13}$．

（2）如图2中，连接AC、CN、CF，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CAN=∠BDM=45°，BD=AC，BD⊥AC，
在△ACN和△DBM中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BD}\\{∠CAN=∠BDM}\\{AN=DM}\end{array}\right.$，
∴△ACN≌△DBM，
∴∠ACN=∠DBM，∠ANC=∠BMD，
∵∠AOB=∠AEB=90°，
∴∠OBE+∠BFE=90°，∠EAG+∠AFO=90°，
∴∠DBM=∠CAF，
∵∠FAC=∠FCA，
∴∠FCA=∠ACN，
∴C、F、N共线，
∵∠ANC=∠BMD，
∴∠GNM=∠GMN．

（3）结论成立．∠GNM=∠GMN．
理由：如图3中，连接AC、CN、CF，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CAN=∠BDM=45°，BD=AC，BD⊥AC，
∴∠CAN=∠BDM，
在△ACN和△DBM中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BD}\\{∠CAN=∠BDM}\\{AN=DM}\end{array}\right.$，
∴△ACN≌△DBM，
∴∠ACN=∠DBM，∠ANC=∠BMD，
∵∠AOB=∠AEB=90°，
∴∠OBE+∠BFE=90°，∠EAO+∠AFO=90°，
∵∠OFA=∠BFE，
∴∠DBM=∠CAF，
∵∠FAC=∠FCA，
∴∠FCA=∠ACN，
∴C、F、N共线，
∴∠GNC=∠GMN．

点评 本题考查四边形综合题、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，证明C、F、N共线是突破点，属于中考压轴题．