Question

3．如图，AB为半圆的直径，点C是弧AD的中点，过点C作BD延长线的垂线交于点E．
（1）求证：CE是半圆的切线；
（2）若OB=5，BC=8，求CE的长．

Answer 1

分析 （1）欲证明EC是⊙O的切线，只要证明EC⊥OC，只要证明OC∥EB即可．
（2）连接AC，作OH⊥AC于H，在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AC，再求出OH，利用S_△AOC=$\frac{1}{2}$•AC•OH=$\frac{1}{2}$•CO•AF求出AF，再证明CE=DF=AF即可解决问题．

解答 （1）证明：如图，连接AD、OC，OC交AD于F．
∵$\widehat{AC}$=$\widehat{CD}$，
∴OC⊥AD，
∴AF=FD，∵OA=OB，
∴OF∥BD，即OC∥BE，
∵EC⊥EB，
∴EC⊥OC，
∴EC是⊙O的切线．

（2）解：连接AC，作OH⊥AC于H．
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{8}^{2}}$=6，
∵OH⊥AC，
∴AH=CH=3，OH=$\sqrt{O{C}^{2}-C{H}^{2}}$=4，
∵S_△AOC=$\frac{1}{2}$•AC•OH=$\frac{1}{2}$•CO•AF，
∴AF=$\frac{AC•OH}{CO}$=$\frac{24}{5}$，
∴DF=AF=$\frac{24}{5}$，
∵∠E=∠ECF=∠CFD=90°，
∴四边形ECFD是矩形，
∴EC=DF=$\frac{24}{5}$．

点评 本题考查切线的判定和性质、勾股定理、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用面积法求有关线段，属于中考常考题型．