Question

如图①，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，E是AC上一点，且AE=nEC，AF⊥BE于G，交BC于F．
（1）作AD⊥BC于D，交BE于H，求证：△ABH≌△CAF．
（2）连接EF，当n=

 

时，∠AEB=∠CEF（直接写出结论，不必证明）
（3）如图②，M是EC的中点，连接MF，当∠AEB=∠CMF时，求n的值．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据等腰直角三角形的性质可得AB=AC，∠BAH=∠C=45°，根据等角的余角相等可得∠ABH=∠CAF，根据ASA可证△ABH≌△CAF．
（2）根据全等三角形的性质得到AH=CF，根据等腰直角三角形的性质可得∠HAE=∠C，再根据∠AEB=∠CEF，由AAS证明△AHE≌△CFE，再根据全等三角形的性质即可求解；
（3）过A点作AD⊥BC于D，交BE于H，通过ASA可证△ABH≌△CAF，再根据全等三角形的性质得到AH=CF，根据等腰直角三角形的性质可得∠HAE=∠C，再根据∠AEB=∠CMF，由AAS证明△AHE≌△CFM，再根据全等三角形的性质和中点的定义即可求解．

解答：解：（1）∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，
∴AB=AC，∠HAE=∠BAH=∠C=45°，∠ABE+∠AEB=90°，
∵AF⊥BE，
∴∠GAE+∠AEB=90°，
∴∠ABH=∠CAF，
在△ABH与△CAF中，

∠BAH=∠C AB=AC ∠ABH=∠CAF

，
∴△ABH≌△CAF（ASA）；
（2）∵△ABH≌△CAF，
∴AH=CF，
在△AHE与△CFE中，

∠AEB=∠CEF ∠HAE=∠C AH=CF

，
∴△AHE≌△CFE（AAS），
∴AE=CE，
∴n=1．
（3）过A点作AD⊥BC于D，交BE于H，
∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，
∴AB=AC，∠HAE=∠BAH=∠C=45°，∠ABE+∠AEB=90°，
∵AF⊥BE，
∴∠GAE+∠AEB=90°，
∴∠ABH=∠CAF，
在△ABH与△CAF中，

∠BAH=∠C AB=AC ∠ABH=∠CAF

，
∴△ABH≌△CAF（ASA）；
∴AH=CF，
在△AHE与△CFM中，

∠HAE=∠C ∠AEB=∠CMF AH=CF

，
∴△AHE≌△CFM（AAS），
∴AE=CM，
∵M是EC的中点，
∴CM=

1

2

EC
∴n=

1

2

．
故答案为：1．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△ABH≌△CAF和△AHE≌△CFE和△AHE≌△CFM是解题的关键．