Question

18．如图，已知△ABC为等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点F．
（1）求证：△ABE≌△CAD；
（2）若BP⊥AD于点P，PF=9，EF=3，求AD的长．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形的三条边都相等可得AB=CA，每一个角都是60°可得，∠BAE=∠ACD=60°，然后利用“边角边”证明△ABE和△CAD全等．
（2）根据全等三角形对应角相等可得∠CAD=∠ABE，然后求出∠BFP=60°，再根据直角三角形两锐角互余求出∠FBP=30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出BF=2FP，再根据AD=BE=BF+FE代入数据进行计算即可得解．

解答 （1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAE=∠ACD，
又∵AE=CD，
在△ABE与△CAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAE=∠ACD}\\{AE=CD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CAD（SAS）．

（2）解：∵△ABE≌△CAD，
∴∠ABE=∠CAD，AD=BE，
又∵∠BFP=∠BAD+∠ABE，
∴∠BFP=∠BAD+∠CAD，
又∵∠BAD+∠CAD=60°，
∴∠BFP=60°，
又∵BP⊥AD，
∴∠BPF=90°，
∴∠FBP=30°，
∴BF=2PF=18，
∴BE=18+3=21，
∴AD=21．

点评 本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半，熟记性质并求出BF=2FP是解题的关键．