Question

16．如图，在△ABC中，∠A=∠B=30°，点D在线段AB上运动（D不与A、B重合），连接CD，作∠CDE=30°，DE交BC于点E．
（1）若∠EDB=20°，则∠ACD的度数为20°；
（2）若BD=AC，试证明△ADC≌△BED；
（3）在点D的运动过程中，△CDE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求出∠ADC的度数；若不可以，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由三角形的外角性质和已知条件得出∠ACD=∠EDB=20°即可；
（2）由（1）得：∠ACD=∠EDB，由ASA证明△ADC≌△BED即可；
（3）分为两种情况：①DC=DE，②CE=DE，根据等腰三角形性质和三角形的内角和定理求出即可．

解答 解：（1）解：∵∠A=∠B=30°，∠EDB=20°，
∴∠CDE=30°=∠A，
∵∠BDC=∠A+∠ACD=∠CDE+∠EDB，
∴∠ACD=∠EDB=20°；
故答案为：20°；
（2）证明：由（1）得：∠ACD=∠EDB，
在△ADC和△BED中，$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠B}&{\;}\\{AC=BD}&{\;}\\{∠ACD=∠BDE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△BED（ASA）；
（3）解：△CDE的形状可以是等腰三角形，∠ADC的度数为105°或60°，理由如下：
∵∠B=30°，
∴∠CED＞30°，
∴分为两种情况：①当CD=DE时，
∵∠CDE=30°，
∴∠DCE=∠DEC=$\frac{1}{2}$（180°-30°）=75°，
∴∠EDB=∠CED-∠B=45°，
∴∠ADC=180°-30°-45°=105°；
②当DE=CE时，
∵∠CDE=30°，
∴∠ECD=∠CDE=30°，
∴∠CED=180°-30°-30°=120°，
∴∠EDB=∠CED-∠B=120°-30°=90°，
∴∠ADC=180°-30°-90°=60°；
即在点D的运动过程中，△CDE的形状可以是等腰三角形，∠ADC的度数是105°或60°．

点评 本题是三角形综合题目，考查了等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理、分类讨论思想的运用；熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解决问题的关键．