Question

7．如图，抛物线y=x²+bx+c与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求该抛物线的对称轴以及顶点坐标；
（3）设（1）中的抛物线上有一个动点P，且点P在x轴上方．若S_△PAB=8，请求出此时P点的坐标．

Answer 1

分析 （1）由于抛物线y=x²+bx+c与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，那么可以得到方程x²+bx+c=0的两根为x=-1或x=3，然后利用根与系数即可确定b、c的值．
（2）把抛物线的解析式化成顶点式即可；
（3）根据S_△PAB=8，求得P的纵坐标，把纵坐标代入抛物线的解析式即可求得P点的坐标

解答 解：
（1）∵抛物线y=x²+bx+c与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，
∴方程x²+bx+c=0的两根为x=-1或x=3，
∴-1+3=-b，
-1×3=c，
∴b=-2，c=-3，
∴二次函数解析式是y=x²-2x-3．
（2）∵y=-x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴抛物线的对称轴直线x=1，顶点坐标（1，-4）．
（3）设P的纵坐标为|y_P|，
∵S_△PAB=8，
∴$\frac{1}{2}$AB•|y_P|=8，
∵AB=3+1=4，
∴|y_P|=4，
∴y_P=±4，
∵点P在x轴上方，∴y_P=4，
把y_P=4代入解析式得，4=x²-2x-3，
解得，x=1±2$\sqrt{2}$，
∴点P在该抛物线上滑动到（1+2$\sqrt{2}$，4）或（1-2$\sqrt{2}$，4）．

点评 此题主要考查了利用抛物线与x轴的交点坐标确定函数解析式，二次函数的对称轴点的坐标以及二次函数的性质，二次函数图象上的坐标特征，解题的关键是利用待定系数法得到关于b、c的方程，解方程即可解决问题．