Question

4．如图，将弧$\widehat{AB}$沿AB弦折叠，圆弧恰好经过圆心O，弦AD与弧$\widehat{AB}$交于点C，连接BC，则下列结论错误的是（　　）

• A． AC：BC=2：3
• B． ∠BCD=60°
• C． BC=CD
• D． 优弧是劣弧长的2倍

Answer 1

分析 如图，作OE⊥AB于E，交⊙O于F，连接AF、BF、AO、BO、BC，只要证明△AOF，△BOF，△BCD是等边三角形即可解决问题．

解答 解：如图，作OE⊥AB于E，交⊙O于F，连接AF、BF、AO、BO、BC．

∵OE⊥AB，
∴$\widehat{AF}$=$\widehat{BF}$，
∵$\widehat{AOB}$=$\widehat{AFB}$，$\widehat{AO}$=$\widehat{BO}$，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{AF}$，
∴AC=AF=OF，
∴△AOF是等边三角形，同理△BOF是等边三角形，
∴∠AFB=∠AFO+∠OFB=60°+60°=120°=∠AOB，
∵∠D+∠AFB=180°，
∴∠D=60°，故B正确，
∵∠ACB=∠AOB=120°，
∴∠DCB=∠D=60°，
∴△DCB是等边三角形，
∴BC=DC，故C正确，
∵$\widehat{AFB}$=120°，$\widehat{ADB}$=240°，
∴优弧是劣弧长的2倍，故D正确，
∵点C是动点，
∴AC：BC=2：3，错误．
故选A．

点评 本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．