Question

如图，AB为⊙O直径．C，D为⊙O上一点，F为CB延长线上一点，且

BC

=

BD

，AC=2

3

．
（1）如图1，DF⊥CF，BC=2，证明：DF与⊙O相切；
（2）如图2，H为⊙O上的一点，若

BD

=

DH

，DH⊥CF于F，求BC的长．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：证明题

分析：（1）连结OD，如图，根据圆周角定理，由AB为⊙O直径得到∠ACB=90°，在Rt△ABC中利用勾股定理计算出AB=4，则根据含30度的直角三角形三边的关系得到∠BAC=30°，则∠ABC=60°，再利用圆周角定理，由

BC

=

BD

得到∠BOD=2∠BAC=60°，于是可判断OD∥BC，而DF⊥CF，所以OD⊥DF，则可根据切线的判定定理得到结论；
（2）根据圆周角定理，由AB为⊙O直径得∠AHB=90°，由

BD

=

DH

=

BC

得∠1=∠2=∠3=∠4，由于FH∥AC，根据平行线的性质得∠1+∠2+∠3+∠4+90°=180°，解得∠1=22.5°；在CA上截取CM=CB，则△BCM为等腰直角三角形，则∠BMC=45°，MB=

2

BC，可计算出∠MBA=∠1=22.5°，所以AM=BM=

2

BC，然后利用BC+

2

BC=2

3

可计算出BC的长．

解答：（1）证明：连结OD，如图，
∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，∵BC=2，AC=2

3

，
∴AB=

BC2+AC2

=4，
∴∠BAC=30°，
∴∠ABC=60°，
∵

BC

=

BD

，
∴∠BOD=2∠BAC=60°，
∴∠ABC=∠BOD，
∴OD∥BC，
∵DF⊥CF，
∴OD⊥DF，
∴DF与⊙O相切；
（2）解：∵AB为⊙O直径，
∴∠AHB=90°，
∵

BD

=

DH

=

BC

，
∴∠1=∠2=∠3=∠4，
∵FH∥AC，
∴∠DHA+∠CAH=180°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+90°=180°，
∴∠1=22.5°，
在CA上截取CM=CB，则△BCM为等腰直角三角形，
∴∠BMC=45°，MB=

2

BC，
∵∠BMC=∠MBA+∠1，
∴∠MBA=∠1=22.5°，
∴AM=BM=

2

BC，
而CM+AM=AC，
∴BC+

2

BC=2

3

，
∴BC=2

6

-2

3

．

点评：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线．