Question

8．已知：AD、AE分别为△ABC的内、外角平分线，求证：$\frac{1}{BD}$+$\frac{1}{BE}$=$\frac{2}{BC}$．

Answer 1

分析 取DE的中点M，连接AM，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及等边对等角、三角形外角的性质，证明∠B=∠3，易证△BMA∽△AMC，根据相似三角形的性质：相似三角形的对应边的比相等得到比例式$\frac{AB}{AC}=\frac{AM}{AC}=\frac{BM}{AM}$，然后根据三角形角平分线的性质得到$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$，等量代换得到$\frac{BM}{AM}=\frac{DB}{CD}$，化简后即可得到结论．

解答 证明：取DE的中点M，连接AM．
∵AD、AE分别为三角形ABC的内、外角平分线，
∴∠DAE=90°，
又∵M为DE中点，
∴AM=$\frac{1}{2}$DE=DM，
∴∠MDA=∠MAD=∠2+∠3，
又∵∠MDA=∠1+∠B，
∴∠1+∠B=∠2+∠3，
∵∠1=∠2，
∴∠B=∠3，
又∵∠BMA=∠AMC，
∴△BMA∽△AMC，
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{AM}{AC}=\frac{BM}{AM}$，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$，
∴$\frac{BM}{AM}=\frac{DB}{CD}$，
∴$\frac{BD+DM}{AM}=\frac{BD}{BC-BD}$，
∴$\frac{BD}{\frac{1}{2}DE}+1=\frac{BD}{BC-BD}$
$\frac{DB}{\frac{1}{2}（BE-BD）}+1=\frac{BD}{BC-BD}$，
化简得BE•BC+BD•BC=2BD•BE，
等式两边同除以（BE•BC•BD）得：$\frac{1}{BD}$+$\frac{1}{BE}$=$\frac{2}{BC}$．

点评 本题考查了直角三角形的性质，以及相似三角形的判定与性质，三角形角平分线的性质，正确证明△BMA∽△AMC是关键．