Question

如图，AB是⊙O的弦，OP⊥OA交AB于点P，过点B作⊙O的切线交OP的延长线于点C．
（1）判断CP与CB是否相等？为什么？
（2）若AP=10，OP=6，求⊙O的半径和BC的长．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：

分析：（1）要证明RP=RQ，需要证明∠PQR=∠RPQ，连接OQ，则∠OQR=90°；根据OB=OQ，得∠B=∠OQB，再根据等角的余角相等即可证明；
（2）根据勾股定理求得半径OA，即可求得OB=OA=8，设BC=x，则PC=x，在Rt△OBC中，根据勾股定理得到8²+x²=（x+6）²，然后解方程即可．

解答：解：（1）CP与CB相等；
理由：连接OB；
∵BC是⊙O的切线，
∴∠OBA+∠ABC=90°．
∵OP⊥OA，
∴∠OPA+∠A=90°．
又∵OB=OA，
∴∠A=∠OBA．
∴∠ABC=∠OPA=∠CPB，
∴CP=CB；
（2）∵AP=10，OP=6，
∴OA=

AP2-OP2

=8，
∴OB=8，
∴圆的半径为8，
设BC=x，则PC=x，在Rt△OBC中，OC=PC+OP=x+6，
∵OB²+BC²=OC²，
∴8²+x²=（x+6）²，
解得x=

7

3

，
即BC的长为

7

3

．

点评：本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识的综合应用，考点较多，难度适中．