题目内容

证明：
a
x-a
+
bx
(x-a)(x-b)
=
a2
(a-b)(x-a)
+
b2
(b-a(x-b)
．
分析：从等式的左边出发，先通分，然后将分子乘开后从新合并，继而拆项后组合即可得出右边的等式的形式．
解答：证明：左边=
a
x-a
+
bx
(x-a)(x-b)
=
a(x-b)+bx
(x-a)(x-b)
=
ax-ab+bx
(x-a)(x-b)
，
=
x(a+b)(a-b)-ab(a-b)
(a-b)(x-a)(x-b)

=
xa2-xb2-a2b+b2a
(a-b)(x-a)(x-b)
=
a2(x-b)-b2(x-a)
(a-b)(x-a)(x-b)

=
a2
(a-b)(x-a)
-
b2
(a-b)(x-b)

=
a2
(a-b)(x-a)
+
b2
(b-a)(x-b)
=右边．
故等式成立．
点评：本题考查了分式的等式证明，难度较大，在解答此类题目时注意从一边出发，利用通分、拆项等知识点进行化简．
练习册系列答案
相关题目
17、已知y1=ax2+bx+c，y2=ax+b．（其中a＞0），若当-1≤x≤1时，总有|y1|≤1．
（1）证明：当-1≤x≤1时，|c|≤1；
（2）若当-1≤x≤1时，y2的最大值为2．求y1的表达式．
阅读下面提供的内容：
关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），如果a+b+c=0，那么它的两根分别为x1=1，x2=
c
a
．
证明：因为a+b+c=0，所以c=-a-b，将c=-a-b代入ax2+bx+c=0，得ax2+bx-a-b=0，即a（x2-1）+b（x-1）=0，所以（x-1）（ax+a+b）=0，所以x1=1，x2=
-a-b
a
=
c
a
．
（1）请利用上面推导的结论，快速求解下列方程：
①5x2-4x-1=0，x1=
1
1
，x2=
-
1
5
-
1
5
；
②.5x2+4x-9=0，x1=
1
1
，x2=
-
9
5
-
9
5
；
③x2-(
2
-1)x-2+
2
=0，x1=
1
1
，x2=
-2+
2
-2+
2
；
（2）请写出两个一元二次方程，使它们都有一个根为1．
给定整数n≥3，证明：存在n个互不相同的正整数组成的集合S，使得对S的任意两个不同的非空子集A，B，数
x∈A
x
|A|
与
x∈B
x
|B|
是互素的合数．（这里
x∈X
x与|X|分别表示有限数集X的所有元素之和及元素个数．）
证明：
a
x-a
+
bx
(x-a)(x-b)
=
a2
(a-b)(x-a)
+
b2
(b-a(x-b)
．

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