Question

（2011•浙江模拟）如图，A、B、C是⊙0上的三点，以BC为一边，作∠CBD=∠ABC，过BC上一点P，作PE∥AB交BD于点E．若∠AOC=60°，BE=12，则点P到弦AB的距离为

6

3

．

Answer 1

分析：过P作PF⊥AB于F，PG⊥BD于G．先由圆周角定理得出∠CBD=∠ABC=30°，再根据角平分线的性质得出PF=PG，由平行线的性质及三角形外角的性质得出∠PEG=60°，然后解直角△PEG，求出PG的长，由此得解．

解答：解：过P作PF⊥AB于F，PG⊥BD于G．
∵∠CBD=∠ABC，PE∥AB交BD于点E，∠AOC=60°，BE=12，
∴∠CBD=∠ABC=30°．
∴BC为∠ABD的角平分线，PF=PG．
又∵PE∥AB，
∴∠BPE=∠ABC=∠CBD=30°，
∴∠PEG=∠BPE+∠CBD=30°+30°=60°．
∵PG⊥BD，
∴∠PGE=90°，
∴sin∠PEG=

PG

PE

=

3

2

∴PG=

3

2

×PE=

3

2

×12=6

3

，
∴PF=PG=6

3

．
故答案为6

3

．

点评：此题考查了圆周角定理、角平分线的定义和性质、平行线的性质以及解直角三角形等知识的综合应用，难度适中．