Question

10．如图，已知∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，点E在CD的延长线上，∠BAC=∠DAE．
（1）求证：△ABC≌△ADE；
（2）设AF是△ABC的BC边上的高，求证：EC=2AF．

Answer 1

分析 （1）先求出∴∠ABC=∠ADE，再根据三角形的判定定理ASA即可证得．
（2）过点A作AM⊥CE，垂足为M；通过三角形全等求得AC=AE，∠BCA=∠E，进而根据等边对等角求得∠ACD=∠E，从而求得∠BCA=∠ACD，再根据角的平分线的性质求得AF=AM，然后证得△CAE和△ACM是等腰直角三角形，进而得出EC=2AF．

解答 （1）证明：∵∠BAD=∠BCD=90°，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
又∵∠ADE+∠ADC=180°，
∴∠ABC=∠ADE，
在△ABC与△ADE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BAC=∠DAE}&{\;}\\{AB=AD}&{\;}\\{∠ABC=∠ADE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△ADE（ASA）；
（2）证明：过点A作AM⊥CE，垂足为M，如图所示：
∵△ABC≌△ADE，
∴AC=AE，∠BCA=∠E，
∴∠ACD=∠E，
∴∠BCA=∠ACD，
∵AM⊥CD，AF⊥CF，
∴AF=AM，
又∵∠BAC=∠DAE，
∴∠CAE=∠CAD+∠DAE=∠CAD+∠BAC=∠BAD=90°，
∵AC=AE，∠CAE=90°，
∴∠ACE=∠AEC=45°，
∵AM⊥CE，
∴∠ACE=∠CAM=∠MAE=∠E=45°，
∴CM=AM=ME，
又∵AF=AM，
∴EC=2AF．

点评 此题考查了全等三角形的判定与性质、角的平分线的判定和性质以及等腰三角形的判定与性质；熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键．