Question

方格中有一点P和△ABC，第一步：作点P关于点A的对称点P₁；第二步：作点P₁关于点B的对称点P₂；第三步：作点P₂关于点C的对称点P₃；第四步：作点P₃关于点A的对称点P₄…；如此一直对称下去．问：第2009次对称后，求点这P₂₀₀₉与P之间的距离=

 

．（每一方格的边长为1）．

Answer 1

分析：选择合适的位置确定直角坐标系，然后再判断P₁、P₂、P₃…的坐标特征，根据所得到的规律求出P₂₀₀₉与P之间的距离．

解答：解：如图；
易知P（-3，-1），A（-1，-1），B（2，0），C（0，2）；
根据题意，
可知：点P₁（1，-1），P₂（3，1），P₃（-3，3）；
P₄（1，-5），P₅（3，5），P₆（-3，-1）；
此时可发现，P₆与P重合，因此每6个P点的坐标为1个循环，由此可得点P₂₀₀₉是第334个循环的第5个点，即P₂₀₀₉与P₅的坐标相同，此时：
PP₂₀₀₉=

(-3-3)2+(-1-5)2

=6

2

．
故答案为：6

2

点评：能够正确的根据A、B、C三点坐标建立相应的平面直角坐标系，并发现P与P₆的坐标关系是解答此题的关键．