Question

我市的A、B两地相距10km，B在A的北偏东60°方向上，一森林保护中心P在A的北偏东30°和B的正西方向上．现计划修建的一条高速铁路将经过AB（线段），已知森林保护区的范围在以点P为圆心，半径为3km的圆形区域内．请问这条高速铁路会不会穿越保护区，为什么？

Answer 1

分析：过P作PM⊥AB于M，延长BP交AC于点C，在直角△ABC中，运用三角函数用求出AC，BC的长，在直角△PCA中，运用三角函数求出PC的长，从而得到PB的长．在直角△PMB中，运用三角函数求出PM，比较PM与3km的大小关系即可．

解答：解：过P作PM⊥AB于M，延长BP交AC于点C，
由题意得，∠CAB=60°，
在Rt△ABC中，∵∠CAB=60°，
∴∠ABC=30°，
∴AC=

1

2

AB=5km，BC=5

3

km
在Rt△PCA中，∠CAP=30°，
∴PC=ACtan30°=

5 3

3

km，
∴PB=5

3

-

5 3

3

=

10 3

3

km，
在Rt△PMB中，∠ABP=30°，
PM=

1

2

PB=

5 3

3

km≈2.89km，
∵2.89＜3，
∴这条高速铁路不会穿越保护区．

点评：本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，利用根据方向角的定义，得出有关角度，注意掌握用三角函数表示相关线段的长度．