Question

7．如图，已知在△ABC中AB=AC，点D为BC边的中点，点F在边AB上，点E在线段DF的延长线上，且∠BAE=∠BDF，点M在线段DF上，且∠EBM=∠C．
（1）求证：EB•BD=BM•AB；
（2）求证：AE⊥BE．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形的性质得到∠ABC=∠C，由已知条件得到∠EBM=∠C，等量代换得到∠EBM=∠ABC，求得∠ABE=∠DBM，推出△BEA∽△BDM，根据相似三角形的性质得到$\frac{BE}{BM}=\frac{AB}{BD}$，于是得到结论；
（2）连接AD，由等腰三角形的性质得到AD⊥BC，推出△ABD∽△EBM，根据相似三角形的性质得到∠ADB=∠EMB=90°，求得∠AEB=∠BMD=90°，于是得到结论．

解答 证明：（1）∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵∠EBM=∠C，
∴∠EBM=∠ABC，
∴∠ABE=∠DBM，
∵∠BAE=∠BDF，
∴△BEA∽△BMD，
∴$\frac{BE}{BM}=\frac{AB}{BD}$，
∴EB•BD=BM•AB；

（2）连接AD，
∵AB=AC，点D为BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∵$\frac{BE}{BM}=\frac{AB}{BD}$，∠ABD=∠EBM，
∴△ABD∽△EBM，
∴∠ADB=∠EMB=90°，
∴∠AEB=∠BMD=90°，
∴AE⊥BE．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质以及三角函数等知识．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是准确作出辅助线，掌握转化思想与数形结合思想的应用．