Question

6．（1）问题背景：如图①，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=60°，直接写出EF，BE，DF之间的数量关系．
（2）探索延伸：如图②，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD，上述结论是否仍然成立？说明理由；
（3）实际应用：如图③，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以80海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以100海里/小时的速度前进．1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处，且两舰艇之间的夹角为70°（即：∠EOF=70°），试求此时两舰艇之间的距离．

Answer 1

分析 （1）延长FD到点G，使DG=BE，连结AG，即可证明△ABE≌△ADG，可得AE=AG，再证明△AEF≌△AGF，可得EF=FG，进而得出结论EF=BE+DF；
（2）延长FD到点G，使DG=BE，连结AG，即可证明△ABE≌△ADG，可得AE=AG，再证明△AEF≌△AGF，可得EF=FG，即可得出结论EF=BE+DF；
（3）连接EF，延长AE、BF相交于点C，然后根据（2）中的方法可得两舰艇之间的距离．

解答 解：（1）EF=BE+DF．
理由：如图1，延长FD到点G，使DG=BE，连结AG，
∵∠B=∠ADC=90°，
∴∠B=∠ADG，
在△ABE和△ADG中，
$\left\{\begin{array}{l}{DG=BE\\;}\\{∠B=∠ADG}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，
∵∠EAF=60°，∠BAD=120°，
∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=60°，
∴∠EAF=∠GAF=60°，
在△AEF和△GAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AG}\\{∠EAF=∠GAF}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF=FG，
∵FG=DG+DF，
∴EF=BE+DF；

（2）结论EF=BE+DF仍然成立．
理由：如图2，延长FD到点G，使DG=BE，连结AG，
∵∠B+∠ADC=180°，∠ADG+∠ADC=180°，
∴∠B=∠ADG，
在△ABE和△ADG中，
$\left\{\begin{array}{l}{DG=BE}\\{∠B=∠ADG}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，
∵∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD，
∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF，
∴∠EAF=∠GAF，
在△AEF和△GAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AG}\\{∠EAF=∠GAF}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF=FG，
∵FG=DG+DF=BE+DF，
∴EF=BE+DF；

（3）如图3，连接EF，延长AE、BF相交于点C，
∵∠AOB=30°+90°+（90°-70°）=140°，∠EOF=70°，
∴∠EOF=$\frac{1}{2}$∠AOB，
又∵OA=OB，∠OAC+∠OBC=（90°-30°）+（70°+50°）=180°，
∴符合（2）中的条件，即结论EF=AE+BF成立，
∴EF=1.5×（100+80）=270（海里）．
答：此时两舰艇之间的距离是270海里．

点评 本题属于四边形综合题，主要考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，解题时需要正确作出辅助线，构造全等三角形，根据全等三角形的对应边相等进行求解．