Question

10．在平面直角坐标系中，若横坐标、纵坐标均为整数点称为格点，若一个多边形的顶点都是格点，则称为格点多边形．记格点多边形的面积为S，其内部的格点数记为n，边界上的格点数记为l，例如图中△ABC是格点三角形，对应的S=1，n=0，l=4．奥地利数学家皮克发现格点多边形的面积可表示为S=n+al+b，其中a，b为常数．
（1）利用图中条件求a，b的值；
（2）若某格点多边形对应的n=20，l=15，求S的值；
（3）在图中画出面积等于5的格点直角三角形PQR．

Answer 1

分析 （1）根据格点多边形的面积S=N+aL+b，结合图中的格点三角形ABC及格点四边形DEFG，建立方程组，求出a，b即可求得S；
（2）将n、l的值代入（1）中代数式求值即可；
（3）利用（1）中的函数关系式进行解答．

解答 解：（1）根据题意，可得：$\left\{\begin{array}{l}{4a+b=1}\\{1+6a+b=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
∴S=n+$\frac{1}{2}$l-1；
（2）将n=20、l=15代入可得S=20+$\frac{1}{2}$×15-1=26.5；
（3）如图，
．

点评 此题考查格点图形的面积变化与多边形内部格点数和边界格点数的关系，从简单情况分析，找出规律解决问题．