Question

10．如图，△ABC内接于⊙O，AD为⊙O的直径，交BC于点E，若DE=3，OE=4，则tanB•tanC=（　　）

• A． .$\frac{7}{3}$
• B． .$\frac{7}{4}$
• C． .$\frac{11}{4}$
• D． $\frac{11}{3}$

Answer 1

分析 连接BD、CD，由DE=3，OE=4可知AO=OD=OE+ED=7，可得AE=11，连接BD、CD，可证∠B=∠ADC，∠C=∠ADB，∠DBA=∠DCA=90°，将tanC，tanB在直角三角形中用线段的比表示，再利用相似转化为已知线段$\frac{AE}{DE}$的比

解答 解：连接BD、CD，
由圆周角定理可知∠B=∠ADC，∠C=∠ADB，
∴△ABE∽△CDE，△ACE∽△BDE，
∴$\frac{AB}{CD}$=$\frac{AE}{CE}$=$\frac{BE}{DE}$，$\frac{AC}{BD}$=$\frac{AE}{BE}$=$\frac{CE}{DE}$，
由AD为直径可知∠DBA=∠DCA=90°，
∵DE=3，OE=4，
∴AO=OD=OE+ED=7，AE=11，
tanC•tanB=tan∠ADB•tan∠ADC=$\frac{AB}{BD}$•$\frac{AC}{CD}$=$\frac{AB}{CD}$•$\frac{AC}{BD}$=$\frac{AE}{CE}$•$\frac{CE}{DE}$=$\frac{AE}{DE}$=$\frac{11}{3}$，
故选：D．

点评 本题考查的是三角形的外接圆和外心、解直角三角形的知识，掌握圆周角定理、相似三角形的判定和性质、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．