Question

如图，正方形ABCD的对角线交于点O，E、F分别是BO、CO的中点．求证：
（1）AE=BF；
（2）AE⊥BF．

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）由条件可证得Rt△AOE≌Rt△BOF，可得AE=BF；
（2）由（1）可得∠OAE=∠OBF，而∠BFO+∠OBF=90°，可得出∠OAE+∠BFO=90°，可得结论．

解答：证明：（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴AO=BO=CO，AC⊥BD
∵E、F分别是BO、CO的中点，
∴OE=OF，
在Rt△AOE和Rt△BOF中，

AO=BO ∠AOE=∠BOF OE=OF

，
∴Rt△AOE≌Rt△BOF（ASA），
∴AE=BF；
（2）由（1）可得∠OAE=∠OBF，
而∠BFO+∠OBF=90°，
∴∠OAE+∠BFO=90°，
∴AE⊥BF．

点评：本题主要考查正方形的性质及全等三角形的判定和性质的应用，掌握正方形的性质和全等三角形的判定方法是解题的关键．