Question

18．已知关于x的一元二次方程mx²-（m+3）x+3=0．
（1）证明：当m取不等于0的任何数时，此方程总有实数根；
（2）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．

Answer 1

分析 ①首先判定m不等于0，然后根据根的判别式的意义判断根的情况；
②首先利用因式分解法解一元二次方程，然后根据方程两根为不相等的正整数根即可求出m的值．

解答 解：①∵一元二次方程mx²-（m+3）x+3=0，
∴m≠0，
∴△=（m+3）²-12m=（m-3）²≥0，
∴当m取不等于0的任何数时，此方程总有实数根；
②∵mx²-（m+3）x+3=0，
∴（x-1）（mx-3）=0，
∴x₁=1，x₂=$\frac{3}{m}$，
∴当m=1时，x₂=3．
故当m为1时，方程有两个不相等的正整数根．

点评 本题主要考查了根的判别式以及一元二次方程的定义的知识，解答本题的关键是掌握一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与△=b²-4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．