Question

14．如图，在菱形ABCD中，过点B作BE⊥AD，BF⊥CD，垂足分别为点E、F，延长BD至点G，使得DG=BD，连结EG、FG，若AE=DE，求tan∠BGE的值．

Answer 1

分析 连接AC、EF，根据菱形的对角线互相垂直平分可得AC⊥BD，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AB=BD，然后判断出△ABD是等边三角形，再根据等边三角形的三个角都是60°求出∠ADB=60°，设EF与BD相交于点H，AB=4x，然后根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出EH，再求出DH，从而得到GH，由此即可解决问题．

解答 解：如图，连接AC、EF，
在菱形ABCD中，AC⊥BD，
∵BE⊥AD，AE=DE，
∴AB=BD，
又∵菱形的边AB=AD，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ADB=60°，
设EF与BD相交于点H，AB=4x，
∵AE=DE，
∴由菱形的对称性，CF=DF，
∴EF是△ACD的中位线，
∴DH=$\frac{1}{2}$DO=$\frac{1}{4}$BD=x，
在Rt△EDH中，EH=$\sqrt{3}$DH=$\sqrt{3}$x，
∵DG=BD，
∴GH=BD+DH=4x+x=5x，
∴tan∠BGE=$\frac{EH}{GH}$=$\frac{\sqrt{3}x}{5x}$=$\frac{\sqrt{3}}{5}$．

点评 本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，难点在于作辅助线构造出直角三角形以及三角形的中位线．