Question

14．如图，在平面直角坐标系中，两个一次函数y=x，y=-2x+12的图象相交于点A，动点E从O出发，沿OA方向以每秒1个单位的速度运动，作EF∥y轴与直线BC交于点F，以EF为一边向x轴负方向作正方形EFMN，设正方形EFMN与△AOC的重叠部分的面积为S．
（1）求点A的坐标；
（2）当点E在线段OA上运动时，求出S与运动时间t（秒）的函数表达式．

Answer 1

分析 （1）可联立直线OA和AC的函数解析式组成方程组，即可求出A点的坐标．
（2）如果设FM与y轴交于R，EN与y轴交于Q，不难得出三角形OEQ为等腰直角三角形，那么本题可分二种情况进行讨论：
①当EF＞QE时，那么重合部分的面积是矩形的面积，以EF和QE为长和宽．
②当EF≤QE时，那么重合部分就是正方形EFMN的面积．
根据这两种情况可得出不同t的取值范围内的S，t的函数关系式．

解答 解：（1）依题意得$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+12}\\{y=x}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=4}\end{array}\right.$．
∴点A的坐标为（4，4）．
（2）设直线MF、NE与y轴交于点R、Q，则△OQE是等腰直角三角形．
∵OE=1×t=t，
∴EQ=OQ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$t，
∴E（$\frac{\sqrt{2}}{2}$t，$\frac{\sqrt{2}}{2}$t）．
∵EF∥y轴，
∴RF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$t，RO=-2×$\frac{\sqrt{2}}{2}$t+12=12-$\sqrt{2}$t．
∴EF=RQ=12-$\sqrt{2}$t-$\frac{\sqrt{2}}{2}$t=12-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$t．
①当EF＞QE时，即12-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$t＞$\frac{\sqrt{2}}{2}$t，
解得t＜3$\sqrt{2}$．
∴当0≤t$＜3\sqrt{2}$时，S=EF•QE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$t（12-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$t）=-$\frac{3}{2}{t}^{2}$+6$\sqrt{2}$t．
②当EF≤QE时，即12-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$t≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$t，
解得t≥3$\sqrt{2}$．
∴当3$\sqrt{2}$≤t＜4$\sqrt{2}$时，S=EF²=$（12-\frac{3\sqrt{2}}{2}t）^{2}$．

点评 本题考查了二次函数解析式的确定、图形的面积求法、函数图象交点等知识及综合应用知识、解决问题的能力．考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．