Question

（1）如果等腰三角形的两腰长是关于x的方程x2+mx+2-

1

2

m=0的根，求m的值和腰长．
（2）在等腰△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，已知a=3，b和c是关于x的方程x2+mx+2-

1

2

m=0的两个实数根，求△ABC的周长．

Answer 1

考点：一元二次方程的应用,等腰三角形的性质

专题：代数几何综合题,分类讨论,判别式法

分析：（1）由等腰三角形两腰长为方程的解，得到方程有两个相等的实数根，即根的判别式等于0，求出m的值，进而确定出腰长；
（2）分两种情况：当a=3是腰长与底边时，得到b=c或b，c中有一个为3，求出b与c的值，即可确定出三角形周长．

解答：解：（1）由题意得：方程有两个相等的实数根，即△=m²-4（2-

1

2

m）=m²+2m-8=0，
即（m-2）（m+4）=0，
解得：m=2或m=-4，
方程为x²+2x+1=0或x²-4x+4=0，
解得：x₁=x₂=-1（舍去），或x₃=x₄=2，
则m的值为-4，腰长为2；
（2）当3为腰长时，b=3或c=3，将x=3代入方程得：9+3m+2-

1

2

m=0，即m=-

22

5

，
方程为5x²-22x+21=0，即（x-3）（5x-7）=0，
解得：x=3或x=

7

5

，
此时三角形三边为3，3，

7

5

，周长为3+3+

7

5

=7

2

5

；
当3为底时，b=c，此时△=m²-4（2-

1

2

m）=0，
解得：m=2或m=-4，
当m=2时，方程为x²+2x+1=0，即x₁=x₂=-1，不合题意，舍去；
当m=-4时，方程为x²-4x+4=0，即x₁=x₂=2，此时三角形三边为2，2，3，周长为2+2+3=7，
综上，△ABC的周长为7

2

5

或7．

点评：此题考查了一元二次方程的应用，以及等腰三角形的性质，弄清题意是解本题的关键．