Question

13．在等腰△ABC中，三边分别为a、b、c，其中a=4，b、c恰好是方程x²-（2k+1）x+5（k-$\frac{3}{4}$）=0的两个实数根，则△ABC的周长为9或10.5．

Answer 1

分析 根据等腰△ABC中，当a为底，b，c为腰时，b=c，得出△=[-（2k+1）]²-4×5（k-$\frac{3}{4}$）=4k²+4k+1-20k+15=4k²-16k+16=0，解方程求出k=2，则b+c=2k+1=5；当a为腰时，则b=4或c=4，然后把b或c的值代入计算求出k的值，再解方程进而求解即可．

解答 解：等腰△ABC中，当a为底，b，c为腰时，b=c，若b和c是关于x的方程x²-（2k+1）x+5（k-$\frac{3}{4}$）=0的两个实数根，
则△=[-（2k+1）]²-4×5（k-$\frac{3}{4}$）=4k²+4k+1-20k+15=4k²-16k+16=0，
解得：k=2，
则b+c=2k+1=5，
△ABC的周长为4+5=9；
当a为腰时，则b=4或c=4，
若b或c是关于x的方程x²-（2k+1）x+5（k-$\frac{3}{4}$）=0的根，
则4²-4（2k+1）+5（k-$\frac{3}{4}$）=0，
解得：k=$\frac{11}{4}$，
解方程x²-$\frac{13}{2}$x+10=0，
解得x=2.5或x=4，
则△ABC的周长为：4+4+2.5=10.5．
故答案为为9或10.5．

点评 此题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解的定义，等腰三角形的性质及三角形三边关系定理，综合性较强，难度中等．