Question

2．如图是一张长方形纸片ABCD，已知AB=8，AD=7，E为AB上的一点，AE=5，点P在长方形ABCD的一边上，要使△AEP是等腰三角形，则△AEP的底边长为5或5$\sqrt{2}$或4$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 分情况讨论：①当AP=AE=5时，则△AEP是等腰直角三角形，得出底边PE=$\sqrt{2}$AE=5 $\sqrt{2}$即可；
②当PE=AE=5时，求出BE，由勾股定理求出PB，再由勾股定理求出等边AP即可；
③当PA=PE时，底边AE=5；即可得出结论．

解答 解：如图所示：
①当AP=AE=5时，
∵∠BAD=90°，
∴△AEP是等腰直角三角形，
∴底边PE=$\sqrt{2}$AE=5 $\sqrt{2}$；
②当PE=AE=5时，
∵BE=AB-AE=8-5=3，∠B=90°，
∴PB=$\sqrt{P{E}^{2}-B{E}^{2}}$=4，
∴底边AP=$\sqrt{A{B}^{2}+P{B}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+{4}^{2}}$=4 $\sqrt{5}$；
③当PA=PE时，底边AE=5；
综上所述：等腰三角形AEP的对边长为5 $\sqrt{2}$或4 $\sqrt{5}$或5；
故答案为：5或5$\sqrt{2}$或4$\sqrt{5}$

点评 本题考查了矩形的性质、等腰三角形的判定、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的判定，并学会用分类讨论是解决问题．