Question

2．湖面上有一塔高15米，在塔顶A测得一气球的仰角为45°，又测得气球在水中像的俯角为60°，求气球高出水面的高度．

Answer 1

分析 根据题意，设气球的点为P点，作点P至湖面的对称点P′，连接PP′，与湖面的交点为O，连接AP′，OE为塔顶距离湖面的高度，结合直角三角形可得OP的大小，即得到答案．

解答 解：作点P至湖面的对称点P′，连接AP′，如图所示：
∵∠PAE=45°，∠EAP′=60°，
∴PE=AE，P′E=AEtan60°=$\sqrt{3}$AE．
∴PP′=（1+$\sqrt{3}$）AE．
∵物和像关于镜面对称，
∴PO=$\frac{1}{2}$PP′，
∴PE+OE=$\frac{1}{2}$×（1+$\sqrt{3}$）AE，即PE+15=$\frac{1}{2}$×（1+$\sqrt{3}$）PE，
则PE=15（$\sqrt{3}$+1）米，
∴h=PO=（15$\sqrt{3}$+30）米，即气球高出水面的高度为（15$\sqrt{3}$+30）米．

点评 本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用平面镜成像的特点和三角函数解直角三角形．