如图①.△ABC的角平分线BD.CE相交于点P．(1)如果∠A=80°.求∠BPC=130°．(2)如图②.过点P作直线MN∥BC.分别交AB和AC于点M和N.试求∠MPB+∠NPC的度数∠MPB+∠NPC=90°-$\frac{1}{2}$∠A．(3)将直线MN绕点P旋转．(i)当直线MN与AB.AC的交点仍分别在线段AB和AC上时.如图③.试探索∠MPB.∠NPC.∠A三者之间的数� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

6．如图①，△ABC的角平分线BD，CE相交于点P．
（1）如果∠A=80°，求∠BPC=130°．
（2）如图②，过点P作直线MN∥BC，分别交AB和AC于点M和N，试求∠MPB+∠NPC的度数（用含∠A的代数式表示）∠MPB+∠NPC=90°-$\frac{1}{2}$∠A．
（3）将直线MN绕点P旋转．
（i）当直线MN与AB，AC的交点仍分别在线段AB和AC上时，如图③，试探索∠MPB，∠NPC，∠A三者之间的数量关系，并说明你的理由．
（ii）当直线MN与AB的交点仍在线段AB上，而与AC的交点在AC的延长线上时，如图④，试问（i）中∠MPB，∠NPC，∠A三者之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明你的理由；若不成立，请给出∠MPB，∠NPC，∠A三者之间的数量关系，并说明你的理由．

分析（1）根据三角形内角和定理得到∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB，再根据角平分线定义得到∠BPC=180°-（$\frac{1}{2}$∠ABC+$\frac{1}{2}$∠ACB），再利用三角形内角和定理得∠BPC=180°-$\frac{1}{2}$（180°-∠A）=90°+$\frac{1}{2}$∠A，然后把∠A的度数代入计算；
（2）根据平角定义得∠MPB+∠NPC=180°-∠BPC，然后根据（1）的求解；
（3）（ i）∠与（2）的说理一样；
（ⅱ）有结论∠MPB-∠NPC=90°-$\frac{1}{2}$∠A．

解答解：（1）∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB
=180°-（$\frac{1}{2}$∠ABC+$\frac{1}{2}$∠ACB）
=180°-$\frac{1}{2}$（180°-∠A）
=90°+$\frac{1}{2}$∠A
=90°+$\frac{1}{2}$×80°
=130°；
故答案为：130°．
（2）∵∠BPC=90°+$\frac{1}{2}$∠A，
∴∠MPB+∠NPC=180°-∠BPC=180°-（90°+$\frac{1}{2}$∠A）=90°-$\frac{1}{2}$∠A；
故答案为：∠MPB+∠NPC=90°-$\frac{1}{2}$∠A．
（3）（i）∠MPB+∠NPC=90°-$\frac{1}{2}$∠A．
理由如下：
∵∠BPC=90°+$\frac{1}{2}$∠A，
∴∠MPB+∠NPC=180°-∠BPC=180°-（90°+$\frac{1}{2}$∠A）=90°-$\frac{1}{2}$∠A．
（ii）不成立，有∠MPB-∠NPC=90°-$\frac{1}{2}$∠A．
理由如下：由题图④可知∠MPB+∠BPC-∠NPC=180°，
由（1）知：∠BPC=90°+$\frac{1}{2}$∠A，
∴∠MPB-∠NPC=180°-∠BPC
=180°-（90°+$\frac{1}{2}$∠A）
=90°-$\frac{1}{2}$∠A．