Question

14．如图，E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，且AB=CD，下列结论中正确的有①③④（填上所有正确结论的序号）
①GH∥DC；
②EG∥AD；
③EH=FG；
④当∠ABC与∠DCB互余时，四边形EFGH是正方形．

Answer 1

分析 ①③：根据中位线性质可得，正确；
②若AD∥BC，根据平行线截线段成比例定理可知：EG∥AD，但BC与AD未必平行，故②不正确；
④先说明中点四边形为菱形，再由∠ABC与∠DCB互余得EF⊥FG，四边形EFGH是正方形，所以④正确；

解答 解：∵E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，
∴EH=$\frac{1}{2}$AB，FG=$\frac{1}{2}$AB，GH=$\frac{1}{2}$DC，EF=$\frac{1}{2}$DC，GH∥DC，
∵AB=CD，
∴EH=FG=GH=EF，
∴四边形EFGH是菱形，
所以选项①③正确；
当∠ABC与∠DCB互余时，则∠GFC与∠EFB互余，EF⊥FG，四边形EFGH是正方形，所以④正确；
若BC∥AD，设AC与BD交于O，
∴$\frac{AO}{AC}=\frac{DO}{BD}$，
∴$\frac{AO}{2AG}=\frac{DO}{2ED}$，
∴$\frac{AO}{AG}=\frac{DO}{ED}$，
∴AD∥EG，
但BC与AD未必平行，故②不正确．
故答案为：①③④．

点评 本题考查了中点四边形和正方形、菱形的性质与判定，熟练掌握三角形中位线的性质是关键；本题还利用了菱形、正方形的判定：①四条边相等的四边形是菱形，②有一个角是直角的菱形是正方形．