Question

7、求证：3ⁿ+1（n为正整数）能被2或2²整除，但不能被2的更高次幂整除．

Answer 1

分析：由于n的奇偶性不能确定，故应分n为偶数和n为奇数两种情况讨论，①若n=2k为偶数，k为正整数，由3^k是奇数，（3k）²是奇数的平方，奇数的平方除以8余1，故可设（3k）²=8a+1，再根据数的奇偶性进行判断即可；
②若n=2k+1为奇数，k为非负整数，可得出3ⁿ+1=3（8a+1）+1=4（6a+1），再根据6a+1的奇偶性即可进行判断．

解答：解：证明：若n=2k为偶数，k为正整数，则
3ⁿ+1=3^2k+1=（3^k）2+1．
由3^k是奇数，（3k）²是奇数的平方，奇数的平方除以8余1，故可设（3k）²=8a+1，于是
3ⁿ+1=8a+2=2（4a+1）．
4a+1是奇数，不含有2的因数，所以3ⁿ+1能被2整除，但不能被2的更高次幂整除．
若n=2k+1为奇数，k为非负整数，则
3ⁿ+1=3^2k+1+1=3•（3^k）²+1
=3（8a+1）+1=4（6a+1）．
由于6a+1是奇数，所以此时3n+1能被2²整除，但不能被2的更高次幂整除．

点评：本题考查的是数的整除性问题，在解答此题时要注意分n为奇数和n为偶数两种情况讨论，不要漏解．