Question

如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，连接EF，EF与AD交于G
（1）求证：∠DEF=∠DFE；
（2）AD=8，FE=6，求四边形AEDF的面积．

Answer 1

考点：角平分线的性质,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据角平分线性质求出DE=DF，然后根据等边对等角，即可证明∠DEF=∠DFE；
（2）根据（1）可知：DE=DF，然后再证△AED和△AFD全等，推出AE=AF，根据等腰三角形的性质可得AD⊥EF，然后将四边形AEDF的面积转化为三角形ADE的面积加上三角形AFD的面积，计算即可．

解答：（1）证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DE=DF，
∴∠DEF=∠DFE；
（2）解：由（1）知；DE=DF，
在Rt△AED和Rt△AFD中，

AD=AD DE=DF

，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE=AF，
又∵AD平分∠BAC，
∴AD⊥EF，
∴四边形AEDF的面积=△AED的面积+△AFD的面积
=

1

2

•AD•EG+

1

2

•AD•GF
=

1

2

AD（EG+FG）
=

1

2

×AD×EF
∵AD=8，FE=6，
∴四边形AEDF的面积=

1

2

×8×6=24．

点评：本题考查了角平分线性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的应用，关键是求出AE=AF，题目较好，综合性比较强．