定义一种新的运算方式:${C} {n}^{2}$=$\frac{n(n-1)}{2}$.例如${C} {3}^{2}$=$\frac{3(3-1)}{2}=3$.${C} {5}^{2}$=$\frac{5(5-1)}{2}=10$．(1)计算${C} {10}^{2}$,(2)若${C} {n}^{2}$=190.求n,(3)记${C} {n}^{2}$=y.求y≤153时n的取值范围� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

3．定义一种新的运算方式：${C}_{n}^{2}$=$\frac{n（n-1）}{2}$（其中n≥2，且n是正整数），例如${C}_{3}^{2}$=$\frac{3（3-1）}{2}=3$，${C}_{5}^{2}$=$\frac{5（5-1）}{2}=10$．
（1）计算${C}_{10}^{2}$；
（2）若${C}_{n}^{2}$=190，求n；
（3）记${C}_{n}^{2}$=y，求y≤153时n的取值范围．

分析（1）根据新定义式${C}_{n}^{2}$=$\frac{n（n-1）}{2}$，代入n=10即可求出结论；
（2）根据新定义式${C}_{n}^{2}$=$\frac{n（n-1）}{2}$结合${C}_{n}^{2}$=190，即可得出关于n的一元二次方程，解之即可得出n值，再根据n≥2且n是正整数，即可确定n值；
（3）根据新定义式${C}_{n}^{2}$=$\frac{n（n-1）}{2}$结合${C}_{n}^{2}$≤153，即可得出关于n的一元二次不等式，解之即可得出n的取值范围，再根据n≥2且n是正整数，即可确定n的取值范围．

解答解：（1）${C}_{10}^{2}$=$\frac{10×（10-1）}{2}$=45；
（2）∵${C}_{n}^{2}$=$\frac{n（n-1）}{2}$=190，
∴n²-n-380=（n+19）（n-20）=0，
解得：n=20或n=-19，
∵n≥2，且n是正整数，
∴n=20．
（3）∵${C}_{n}^{2}$=$\frac{n（n-1）}{2}$=y，y≤153，
∴n²-n-306=（n+17）（n-18）≤0，
解得：-17≤n≤18，
∵n≥2，且n是正整数，
∴2≤n≤18，且n是正整数．

点评本题考查了有理数的混合运算、因式分解法解一元二次方程及不等式，解题的关键是：（1）根据定义式，代入数据求值；（2）根据定义式，找出关于n的一元二次方程；（3）根据定义式，找出关于n的一元二次不等式．