题目内容

如图1，是一块半径为1的半圆形纸板，在其左下端剪去一个半径为 $数学公式$ 的半圆后得到一图形（图2），然后依次剪去一个更小的半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得图形3，…，2-n，记第n个纸板的面积为S_n
（1）计算求出S₂，S₃；　　
（2）试求出S₄-S₃；
（3）猜想S_n-S_n-1______（n≥2）．（直接写出答案）．

解：（1）S₂= $\text{[math]}$ π- $\text{[math]}$ π× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ π，
S₃= $\text{[math]}$ π- $\text{[math]}$ π× $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ π× $\text{[math]}$ ⁼ $\text{[math]}$ π；

（2）S₄-S₃= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ π；

（3）S_n-1= $\text{[math]}$ π- $\text{[math]}$ π× $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ π× $\text{[math]}$ -…- $\text{[math]}$ π× $\text{[math]}$ ，
S_n= $\text{[math]}$ π- $\text{[math]}$ π× $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ π× $\text{[math]}$ -…- $\text{[math]}$ π× $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ π× $\text{[math]}$ ，
∴S_n-S_n-1= $\text{[math]}$ π× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ π．
故答案为： $\text{[math]}$ π．
分析：由P₁是一块半径为1的半圆形纸板，在P₁的左下端剪去一个半径为 $\text{[math]}$ 的半圆后得到图形P₂，得到S₁= $\text{[math]}$ π×1²= $\text{[math]}$ π，S₂= $\text{[math]}$ π- $\text{[math]}$ π×（ $\text{[math]}$ ）²．同理可得S_n-1= $\text{[math]}$ π- $\text{[math]}$ π×（ $\text{[math]}$ ）²- $\text{[math]}$ π×[（ $\text{[math]}$ ）²]²-…- $\text{[math]}$ π×[（ $\text{[math]}$ ）^n-2]²，S_n= $\text{[math]}$ π- $\text{[math]}$ π×（ $\text{[math]}$ ）²- $\text{[math]}$ π×[（ $\text{[math]}$ ）²]²-…- $\text{[math]}$ π×[（ $\text{[math]}$ ）^n-2]²- $\text{[math]}$ π×[（ $\text{[math]}$ ）^n-1]²，它们的差即可得到．
点评：本题考查了圆的面积公式：S=πR²，及规律性题目的解题一般方法：从特殊到一般，找出规律是解答的基础．