Question

已知：如图，AB为⊙O的直径，⊙O过BC的中点D，且DE⊥AC，
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若∠C=30°，CD=2

3

cm，求⊙O的半径．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：

分析：（1）连接OD，根据三角形中位线求出OD∥AC，推出OD⊥DE，根据切线的判定推出即可；
（2）求出∠B=30°，解直角三角形求出即可．

解答：（1）证明：连接OD，如图1，
∵D为BC中点，AO=BO，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∵OD为半径，
∴DE是⊙O的切线；

（2）解：如图2，∵D为BC中点，CD=2

3

cm，
∴BD=CD=2

3

cm，
∵OD∥AC，∠C=30°，
∴∠ODB=∠C=30°，
∵OD=OB，
∴∠B=∠ODB=30°，
连接AD，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∴AB=

BC

cos30°

=

2 3

3 2

=4（cm），
∴⊙O的半径是2cm．

点评：本题考查了圆周角定理，三角形的中位线，平行线的性质和判定，解直角三角形，切线的判定的应用，题目比较好，综合性比较强．